Expérimenter, Explorer, chercher en mathématiques

L’usage du numérique au collège et au lycée facilite les capacités d’expérimentation, de raisonnement, d’imagination et d’analyse critique. Comme pour toutes les disciplines scientifiques, l’expérimentation et l’observation ont une place centrale en mathématiques.

L’activité d’expérimentation en mathématique touche toutes les branches de cette discipline. Sur une question donnée, elle consiste à émettre une conjecture puis la valider ou la réfuter, ou à résoudre de façon empirique un problème (comme la méthode par essais-erreurs) puis à établir le résultat de façon rigoureuse grâce à une démonstration, ou à simuler une expérience avec un algorithme pour en déduire des résultats de nature algébrique, probabiliste ou géométrique.
Afin de s’engager dans ces démarches de recherches, d’explorations, de questionnements et d’observations, nous avons très souvent recours à l’outil numérique et dans de nombreuses situations, ce sont les logiciels de géométrie dynamiques (comme Geogebra) et le tableur qui sont utilisés.

Voici deux situations dans lesquelles le numérique apporte une aide considérable quant à la résolution de problèmes.

Un premier exemple : comment maximiser l’aire d’un enclos?

On dispose de 100 m de clôture pour délimiter un terrain rectangulaire. Quelles devront être les dimensions du terrain pour que l’aire, à l’intérieur de l’enclos, soit maximale ?
Pour répondre cette question au niveau collège, et donc sans utiliser les outils du calcul différentiel, il est possible de construire la figure géométrique dynamique représentant cette situation (télécharger la figure GeoGebra) et de modéliser l’aire de l’enclos à l’aide d’une expression littérale. On obtient alors la représentation graphique d’une fonction obtenue point par point et ainsi la solution en découle sans grande difficulté :

Déplacer le curseur et observer….

Un deuxième exemple : comment parier sur la somme des points obtenus en lançant trois dés équilibrés ?

Il s’agit du problème posé par le Grand Duc de Toscane à Galilée au XVII siècle. Grand amateur de jeux de dés, il a observé qu’en lançant trois dés équilibrés, la somme 10 sortait plus souvent que la somme 9. Il ne s’expliquait ce fait car ces deux sommes s’obtiennent, toutes les deux, de six façons différentes :

9 = 1 + 2 + 6 = 1 + 3 + 5 = 1 + 4 + 4 = 2 + 2 + 5 = 2 + 3 + 4 = 3 + 3 + 3.
10 = 1 + 3 + 6 = 1 + 4 + 5 = 2 + 2 + 6 = 2 + 3 + 5 = 2 + 4 + 4 = 3 + 3 + 4.

Pour répondre à ce problème, il est possible de créer une feuille de calcul dans laquelle on simule le lancer de trois dés un très grand nombre de fois. Grâce au numérique 1000 lancers de dés, ou plus,  se répètent instantanément et on observera que sur les 16 sommes possibles que l’on obtient en lançant 3 dés, la fréquence des 10 est supérieure à celle des 9.
L’utilisation du tableur permet de développer l’expérimentation à un niveau tel qu’il serait impossible de le faire dans dans les limites du cadre dans lesquelles nous travaillons.
En cliquant sur l’image, vous téléchargerez le fichier qui permet de simuler cette expérience et d’observer ce que le Grand Duc de Toscan a lui même observé.

Aller plus loinCe type d’activité peut se réaliser, en demi-classe, (pendant que l’autre groupe recherche en utilisant des méthodes plus “traditionnelles”) sur ordinateurs ou sur tablette, en classe ou en salle multimédia.
Il est tout à fait envisageable de le donner en devoir à faire hors classe et, dans ce cas, je préconise de donner le travail aux élèves sur la plateforme Moodle, des indications pourront alors être données et la restitution des travaux en sera facilitée.

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